Die booleschen Ausdrücke bestimmen die mathematischen Prinzipien hinter Logikgattern. Diese Ausdrücke können mit Hilfe boolescher Identitäten mathematisch vereinfacht werden, was zu einfacheren statt komplexen Logikschaltungen führt. Dieser Artikel beschreibt mathematische Gesetze zusammen mit einigen Beispielen für die Anwendung der Vereinfachung der Booleschen Algebra.
Vereinfachung der Booleschen Algebra
Die Vereinfachung der Booleschen Algebra ist die Reduzierung von Variablen und Operatoren in einem vollständigen Booleschen Ausdruck. Die mathematischen Identitäten reichen von einfachen bis hin zu komplexen Theoremen. Allerdings kann jede komplexe Funktion in UND-Formen und ODER-Formen aufgeteilt werden.
Boolesche Identitäten, die sowohl auf AND- als auch auf OR-Formen unter tabellarischen mathematischen Gesetzen anwendbar sind:
Basierend auf den oben genannten Gesetzen können wir jeden komplexen booleschen Ausdruck auf eine minimale Anzahl von Termen vereinfachen, sodass die resultierende äquivalente Logikschaltung in der einfachsten Form gezeichnet werden kann.
Beispiel 1
Konvertieren Sie die folgenden zweistufigen Logikgatterschaltungen mithilfe der Booleschen Algebra-Vereinfachung in eine einfachere Logikschaltung.
Boolescher Ausdruck:
Der obige boolesche Ausdruck impliziert zwei Stufen des Betriebs von Logikgattern. Die Logikschaltung könnte als ODER-Gatter mit zwei Eingängen und einer weiteren UND-Gatteroperation vom Ausgang des ODER-Gatters mit dem ersten Eingang gezeichnet werden.
Diese komplexe Schaltung kann jedoch leicht vermieden werden, wenn wir die booleschen Identitäten anwenden, um die Anzahl der Terme zu reduzieren, wie in den folgenden Schritten gezeigt:
Die oben genannten fünf booleschen Identitäten, bestehend aus Verteilungsgesetz, idempotentem Gesetz, Reduktions-, Aufhebungs- und Absorptionsgesetz, haben die komplexe Schaltung auf einen einzelnen Eingabeausdruck A vereinfacht. Daher:
Beispiel 2
Konvertieren Sie die folgenden zweistufigen Logikgatterschaltungen mithilfe der Booleschen Algebra-Vereinfachung in eine einfachere Logikschaltung.
Boolescher Ausdruck:
Der obige boolesche Ausdruck ist auch eine zweistufige Gate-Operationsschaltung. Zunächst sollen zwei Eingänge, die auf zwei ODER-Gattern basieren, zusammen mit der weiteren UND-Gatter-Operation an den Ausgängen dieser ODER-Gatter gezeichnet werden.
Wir werden boolesche Identitäten verwenden, um die obige komplexe Logikschaltung einfacher zu machen:
Sieben boolesche Identitäten, bestehend aus Verteilungsgesetz, idempotentem Gesetz, Reduktionsoperationen und Absorptionsgesetz, haben den komplexen Schaltkreis in eine UND-/ODER-Verknüpfung von drei Eingaben reduziert, die gegeben sind durch:
Beispiel 3
Konvertieren Sie die unten aufgeführte, auf mehreren Stufen basierende Logikgatterschaltung mithilfe der Booleschen Algebra-Vereinfachung in eine einfache einstufige Logikschaltung.
Boolescher Ausdruck:
Das Obige ist eine dreistufige komplexe Logikschaltung, die eine UND-Verknüpfung im ersten Schritt, ein ODER-Gatter im zweiten Schritt und schließlich eine weitere UND-Verknüpfung des erhaltenen Ausgangs mit zwei weiteren Eingängen umfasst. Sie kann wie folgt vereinfacht werden:
Die oben genannten acht booleschen Vereinfachungen mithilfe boolescher Identitäten haben die Schaltung nun zu einem einzigen UND-Gatter mit drei Eingängen vereinfacht. Daher können wir den booleschen Ausdruck jetzt umschreiben:
Beispiel 4
Konvertieren Sie die auf mehreren Stufen basierende Logikgatterschaltung mithilfe der Booleschen Algebra-Vereinfachung in eine einfache einstufige Logikschaltung.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck zeigt die Logikgatteroperationen von drei Anzahlen von ODER-Gattern mit drei Eingängen und einem oder zwei komplementären Eingängen und schließlich die Operation der drei UND-Gatter an den erhaltenen Eingängen.
Die für den vorliegenden Ausdruck gezeichnete Logikschaltung wäre eine komplexe zweistufige Schaltung, die auf Operationen mit drei Eingangsgattern basiert. Dasselbe kann vereinfacht werden, um die Anzahl der Terme und Gates zu reduzieren, indem die folgenden Schritte ausgeführt werden:
Der obige Ausdruck wurde auf seine einfachste Form reduziert, indem das assoziative Multiplikationsgesetz, das idempotente Gesetz, das Komplementgesetz, das Absorptionsgesetz, das Identitätsgesetz und einige mathematische Substitutionsoperationen verwendet wurden, wie oben gezeigt. Daher funktioniert der obige boolesche Ausdruck genauso wie die endgültige einfache Form und wir können ihn wie folgt umschreiben:
Abschluss
Durch die boolesche Vereinfachung kann jede komplexe Logikschaltung in eine alternative einfache Schaltung umgewandelt werden, wodurch die Anzahl der Logikgatter sowie die Komplexität der Booleschen Algebra bei der Auswertung der Ausgänge reduziert werden. Die einfache Schaltung liefert in jedem Szenario genau die gleichen Ausgänge wie die komplexe Schaltung. Dieses Prinzip lässt sich auch durch den Vergleich der Wahrheitstabellen der beiden Schaltkreise beweisen.
