Boolesche Ausdrücke sind die mathematischen Ausdrücke des Funktionsprinzips hinter jedem Logikgatter. Dieser mathematische Ausdruck definiert die Beziehung zwischen Eingabevariablen und Ausgabe. Die booleschen Ausdrücke helfen auch bei der Erstellung von Wahrheitstabellen für Logikgatter.
Boolesche Variablen und Operatoren
Boolesche Variablen werden durch alphabetische Symbole dargestellt. Es können zwei oder mehr Variablen für die Eingabe und eine einzelne Variable für die Ausgabe vorhanden sein. Die booleschen Operatoren sind Symbole, die die booleschen Operationen ausführen.
Wahrheitstabellen
Die Wahrheitstabelle stellt alle Kombinationen von Eingaben und Ausgaben in tabellarischer Form bereit. Für zwei Eingänge gibt es vier mögliche Kombinationen von Schalteingängen. Zur Auswertung der Ausgabe der Wahrheitstabelle wird jeweils der boolesche mathematische Ausdruck verwendet.
In Wahrheitstabellen wird entweder 1 oder 0 verwendet, um hohe oder niedrige Eingangszustände anzuzeigen.
Boolesche Algebra-Wahrheitstabellen für Logikgatterfunktionen
Wir werden Wahrheitstabellen für die unten aufgeführten Logikgatter erstellen und dabei die booleschen algebraischen Ausdrücke verwenden. Alle vier möglichen Kombinationen für die beiden Eingaben werden zur Tabelle hinzugefügt und die resultierende Ausgabe wird für jede Kombination mithilfe der booleschen Gleichung ermittelt.
ODER-Tor
Das ODER-Logikgatter liefert einen High- oder True-Ausgang, wenn einer der Eingänge High ist. Es liefert einen falschen oder niedrigen Ausgang, falls alle Eingänge niedrig werden.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck bedeutet, dass die Ausgabe die Summe der beiden Eingabevariablen sein soll.
Die gleiche Logik wird in der folgenden Wahrheitstabelle angezeigt:
X
Y
Z
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
UND Tor
Das UND-Logikgatter liefert nur dann einen High- oder True-Ausgang, wenn alle seine Eingänge True sind. Es wird eine falsche Ausgabe bereitgestellt, wenn eine der Eingaben falsch, die andere jedoch wahr ist.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck bedeutet, dass die Ausgabe durch Multiplikation der beiden Eingabevariablen erhalten wird.
Die Wahrheitstabelle ist unten dargestellt:
X
Y
Z
0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
NICHT Tor
Das NICHT-Logikgatter stellt am Ausgang das Inverse oder Komplement seines Eingangs bereit. Wenn die Eingabe wahr ist, wird eine falsche Ausgabe bereitgestellt. Wenn die Eingabe falsch ist, wird ebenfalls eine echte Ausgabe bereitgestellt.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck bedeutet, dass die Ausgabe immer invers zur Eingabe ist.
Die gleiche Logik wird in der Wahrheitstabelle unten angezeigt:
X
Z
0 1 1 0
NAND-Gate
Das NAND-Logikgatter liefert nur dann einen hohen Ausgang, wenn einer seiner Eingänge wahr ist. Es wird eine falsche Ausgabe bereitgestellt, wenn keine der Eingaben falsch ist.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck bedeutet, dass die Ausgabe die Umkehrung des Produkts zweier Eingaben sein soll.
Die gleiche Logik wird in der Wahrheitstabelle unten angezeigt:
X
Y
Z
0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
NOR-Tor
Das NOR-Logikgatter liefert nur dann einen hohen Ausgang, wenn keiner seiner Eingänge wahr ist. Es wird eine falsche Ausgabe bereitgestellt, wenn eine der Eingaben wahr ist.
Boolescher Ausdruck:
Der obige Ausdruck bedeutet, dass die Ausgabe ein Komplement der Summe der beiden Eingabevariablen sein soll.
Die gleiche Logik wird in der folgenden Wahrheitstabelle angezeigt:
X
Y
Z
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
EX-OR-Tor
Das EX-OR-Logikgatter liefert nur dann einen hohen Ausgang, wenn die Eingänge unterschiedlich sind (entweder hoch und niedrig oder niedrig und hoch). Bei gleichen Eingaben wird eine falsche Ausgabe ausgegeben.
Boolescher Ausdruck:
Mit anderen Worten: Das XOR-Gatter liefert einen hohen Ausgang, wenn die Anzahl der hohen Eingänge ungerade ist.
Dasselbe wird in der Wahrheitstabelle unten angezeigt:
X
Y
Z
0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
EX-NOR-Tor
Das EX-NOR-Logikgatter liefert nur dann einen hohen Ausgang, wenn die Eingänge gleich sind (entweder beide sind hoch oder niedrig). Wenn die Eingaben unterschiedlich sind, wird eine falsche Ausgabe ausgegeben.
Boolescher Ausdruck:
Dasselbe wird in der folgenden Wahrheitstabelle angezeigt:
X
Y
Z
0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
Wahrheitstabelle aller Logikgatter
Wir können nun die obigen Wahrheitstabellen in einer einzigen Darstellung zusammenfassen. Alle vier Kombinationen von Eingängen und Ausgängen für jedes Logikgatter werden unten angezeigt:
Eingaben
Wahrheitstabellenausgaben für jedes Logikgatter
X
Y
ODER
NOCH
EX-OR
UND
NAND
EX-NOR
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1
Abschluss
Die booleschen algebraischen Ausdrücke liefern die grundlegenden mathematischen Prinzipien für die Wahrheitstabellen von Logikgattern. Die Wahrheitstabellen, die aus allen möglichen Kombinationen von Eingaben bestehen, können zusammen mit der Ausgabe basierend auf den booleschen mathematischen Ausdrücken einfach generiert werden.
